Algorithmen und rekursive Funktionen by A. I. Malcev (auth.) PDF

By A. I. Malcev (auth.)

ISBN-10: 332285356X

ISBN-13: 9783322853561

ISBN-10: 3528083271

ISBN-13: 9783528083274

Noch in den 30er Jahren unseres Jahrhunderts erweckten die mathematische Logik und die damals entstehende Algorithmentheorie den Anschein besonders abstrakter und von praktischen Anwendungen besonders weit entfernter mathe­ matischer Disziplinen. Heute hat sich die state of affairs radikal verändert. Es ist jetzt allgemein anerkannt, daß die beiden genannten Disziplinen eine theoretische Grundlage für Aufbau und Anwendungen schnell arbeitender Rechen-und Steu­ erungssysteme schaffen. Das relative Gewicht der mathematischen Logik und der Algorithmentheorie wuchs auch in der Mathematik selbst stark an. Darüber hinaus dringen gegenwärtig in beträchtlichem Maße durch die Algorithmentheorie und die mathematische Logik mathematische Methoden in die Biologie, die Lin­ guistik, die Wirtschaftswissenschaften und sogar Philosophie der Naturwissen­ schaften ein. All dies hat dazu geführt, daß die mathematische Logik und die Algorithmentheorie angefangen haben, in die Lehrpläne unserer Universitäten und pädagogischen Hochschulen als für das Studium der Mathematikstudenten aller Fachrichtungen obligatorische Disziplin einzudringen. Das vorliegende Buch ist aus der Bearbeitung von Nachschriften von Vorlesun­ gen über mathematische Logik, Algorithmentheorie und deren Anwendungen ent­ standen, die der Verfasser in den Jahren 1956-1959 an der pädagogischen Hoch­ schule von lvanovsk und seit dem Jahr 1960 an der Universität Novosibirsk gehalten hat. In ihm wird nur die allgemeine Theorie der Algorithmen und der rekursiven Funktionen entwickelt. Ganz außerhalb des Rahmens des Buches blieben die Komplexe vehicle· matentheorie, Anwendungen der Algorithmentheorie auf formale Theorien und Theorie der Unlösbarkeitsgrade. Eine irgendwie ausführliche Darstellung dieser Disziplinen zum gegenwärtigen Zeitpunkt bedarf besonderer Einzeldar­ stellungen.

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Wir führen noch die Funktion sg ein, die durch die Matrix _ sg x = { 1, falls x = 0, 0, falls x > 0 definiert ist und mit der Düferenz 1-sg x zusammenfällt. Die Funktionen sg und sg genügen den primitiv rekursiven Schemata sg 0 = 0, sg 0 = 1 , sg(x+1)=1, sg(x+1)=0, die die Form (3), (4) haben. Deshalb sind die Funktionen sg und sg primitiv rekursiv. Im Bereich der natürlichen Zahlen wird die Differenz x - y natürlicherweise als partielle zweistellige Funktion von x, y betrachtet, die nur für x ;;;::: y definiert ist, weil negative Zahlen in dem betrachteten Bereich nicht vorkommen.

Die Umkehrung ist ebenfalls gültig: Jede überall definierte partiell rekursive Funktion ist allgemein rekursiv. 1. gezeigt wird. 2. werden allgemein rekursive Funktionen konstruiert, die nicht primitiv rekursiv sind. Somit ist die Klasse der allgemein rekursiven Funktionen weiter als die Klasse der primitiv rekursiven Funktionen. 4. Allgemein rekursive Funktionen 27 Beispiele und Übungen l. Die Operation der Substitution einer einstelligen Funktion in eine einstellige Funktion ergibt wieder eine einstellige Funktion.

Die partiellen Funktionen, die man mit Hilfe dieser Operatoren aus den Anfangsfunktionen s(x) = x 1, o(x) = 0, lm"(xt> ••. ) = Xm erhalten kann, heißen partiell rekursiv. CH hat zum Inhalt, daß die Klasse der partiell rekursiven Funktionen mit der Klasse der eine maschinelle oder algorithmische Berechnung gestattenden Funktionen zusammenfällt. 1. Einsetzung partieller Funktionen. Es seien n beliebige partielle Funktionen ••• , f,. ein und derselben Zahl m von Variablen gegeben, die auf irgendeiner Menge A mit Werten in einer Menge B definiert sind, und auf der Menge B sei eine partielle Funktion f von n Variablen definiert, deren Werte einer dritten Menge 0 angehören.

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Algorithmen und rekursive Funktionen by A. I. Malcev (auth.)


by Michael
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